Краснодарский край, Белоглинский район, станица Успенская
(территориальный, административный округ (город, район, поселок)

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №32 имени Героя Советского Союза
В.И.Литвинова Белоглинского района»
(полное наименование образовательного учреждения)

Алфимо
ва
Татьяна
Василье
вна

Подписан: Алфимова Татьяна
Васильевна
DN: C=RU, S=Краснодарский край,
L=ст.Успенская, T=Директор, O="
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ""СРЕДНЯЯ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
№ 32 ИМЕНИ ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО
СОЮЗА В.И. ЛИТВИНОВА
БЕЛОГЛИНСКОГО РАЙОНА""",
СНИЛС=11533708129,
ИНН=232600658199,
E=cb-mou32@yandex.ru, G=Татьяна
Васильевна, SN=Алфимова,
CN=Алфимова Татьяна Васильевна
Основание: я подтверждаю этот
документ
Местоположение: место подписания
Дата: 2023.09.25 11:34:22+03'00'
Foxit Reader Версия: 10.1.1

УТВЕРЖДЕНО
решением педагогического совета
от_30 августа 2021 года протокол №1
Председатель _____________/Т.В. Алфимова/
Подпись и.оруководителя ОУ

Ф.И.О.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
По

алгебре
(указать учебный предмет, курс)

Уровень образования (класс) основное общее образование 7-9 класс (ФГОС)
(начальное общее, основное общее образование с указанием классов)

Количество часов 306
Учитель Медведева Елена Владимировна
Программа разработана на основе
Федерального государственного образовательном стандарта основного общего
образования,
Примерная основная образовательная программа основного общего образования.
Стандарты 2 поколения. В редакции протокола № 3/15 от 28.10.2015 федерального
учебно-методического объединения по общему образованию.
УМК Макарычева Ю. А.
Рабочей программы «АЛГЕБРА. 7-9 классы» составитель Н.Г. Миндюк – М:
Просвещение, 2014г.
(указать ФГОС, ПООП, УМК, авторскую программу/программы, издательство, год издания)

1

I. Планируемые результаты освоения учебного предмета «Алгебра»
Изучение математики по данной программе способствует формированию у учащихся
личностных, метапредметных и предметных результатов обучения, соответствующих
требованиям федерального государственного образовательного стандарта основного общего
образования.
Личностные результаты отражают сформированность, в том числе в части:
1) гражданское и духовно-нравственное воспитание:
готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его прав, представлением о математических основах функционирования различных структур, явлений, процедур
гражданского общества (выборы, опросы и пр); готовностью к обсуждению этических проблем, связанных с практическим применением достижений науки, осознанием важности морально-этических принципов в деятельности учёного
2) патриотическое воспитание:
проявлением интереса к прошлому и настоящему российской математики, ценностным отношением к достижениям российских математиков и российской математической школы, к
использованию этих достижений в других науках и прикладных сферах
3) Духовное и нравственное воспитание детей на основе российских традиционных
ценностей:
готовностью к обсуждению этических проблем, связанных с практическим применением
достижений науки, осознанием важности морально-этических принципов в деятельности
учёного.
4) Эстетическое воспитание:
способностью к эмоциональному и эстетическому восприятию математических объектов,
задач, решений, рассуждений; умению видеть математические закономерности в искусстве
5) Ценности научного познания:
ориентацией в деятельности на современную систему научных представлений об основных
закономерностях развития человека, природы и общества, пониманием математической науки как сферы человеческой деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации; овладением языком математики и математической культурой как средством познания мира; овладением простейшими навыками исследовательской деятельности
6) Физическое воспитание, формирование культуры здоровья и эмоционального благополучия:
готовностью применять математические знания в интересах своего здоровья, ведения здорового образа жизни (здоровое питание, сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность); сформированностью навыка рефлексии, признанием своего
права на ошибку и такого же права другого человека
7) трудовое воспитание:
установкой на активное участие в решении практических задач математической направленности, осознанием важности математического образования на протяжении всей жизни
для успешной профессиональной деятельности и развитием необходимых умений; осознанным выбором и построением индивидуальной траектории образования и жизненных планов
с учётом личных интересов и общественных потребностей
8) Экологическое воспитание:
ориентацией на применение математических знаний для решения задач в области сохранности окружающей среды, планирования поступков и оценки их возможных последствий для
окружающей среды; осознанием глобального характера экологических проблем и путей их
2

решения.
Метапредметные результаты характеризуются овладением универсальными
п о з н а в а т е л ь н ы м и действиями, универсальными к о м м у н и к а т и в н ы м и действиями и универсальными р е г у л я т и в н ы м и действиями.
1) Универсальные п о з н а в а т е л ь н ы е действия обеспечив-ют формирование
базовых когнитивных процессов обучающихся (освоение методов позн ан ия
окружающего мира; применение логических, исследовательских операций,
ум е н ий работать с информацией).
базовые логические действия:

выявлять и характеризовать существенные признаки матема-тических
объектов, понятий, отношений между понятиями; формулировать определения
понятий; устанавливать существенный признак классификации, основания для
обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
 воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные, единичные, частные и общие; условные;
 выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в
фактах, данных, наблюдениях и утверждениях; предлагать критерии для
выявления закономерностей и противоречий;
 делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений, умозаключений по аналогии;
 разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от противного), проводить самостоятельно несложные доказательства математических фактов, выстраивать аргументацию, приводить примеры и
контрпримеры; обосновывать собственные рассуждения;
 выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать не- сколько вариантов решения, выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев)
базовые исследовательские действия:
 использовать вопросы как исследовательский инструмент по- знания;
формулировать вопросы, фиксирующие противоречие, проблему, самостоятельно устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу, аргументировать свою позицию, мнение;
 проводить по самостоятельно составленному плану несложный эксперимент, небольшое исследование по установлению особенностей математического объекта, зависимостей объектов между собой;
 самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам
проведённого наблюдения, исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
 прогнозировать возможное развитие процесса, а также вы- двигать
предположения о его развитии в новых условиях
работа с информацией:
 выявлять недостаточность и избыточность информации, данных, необходимых для решения задачи;
 выбирать, анализировать, систематизировать и интерпретировать информацию различных видов и форм представления;
 выбирать форму представления информации и иллюстрировать решаемые
задачи схемами, диаграммами, иной графи3

кой и их комбинациями;
 оценивать надёжность информации по критериям, предложенным учителем или сформулированным самостоятельно
2) Универсальные к о м м у н и к а т и в н ы е действия обеспечивают сформированность социальных навыков обучающихся.
Общение:
 воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и
целями общения; ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в
устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
 в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы,
проблемы, решаемой задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск
решения; сопоставлять свои суждения с суждениями других участников
диалога, обнаруживать различие и сходство позиций; в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
 представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования,
проекта; самостоятельно выбирать формат выступления с учётом задач презентации и особенностей аудитории
сотрудничество:
 понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной
работы при решении учебных математических
задач; принимать цель совместной деятельности, планировать организацию
совместной работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы; обобщать мнения нескольких людей;
 участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнениями,
мозговые штурмы и др); выполнять свою часть работы и координировать
свои действия с другими членами команды; оценивать качество своего
вклада в общий продукт по критериям, сформулированным участниками
взаимодействия
3) Универсальные р е г у л я т и в н ы е действия обеспечивают формирование
смысловых установок и жизненных навыков личности.
самоорганизация:
 самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его
часть), выбирать способ решения с учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты
решений с учётом новой информации
самоконтроль:
 владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата
решения математической задачи;
 предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи,
вносить коррективы в деятельность на основе новых обстоятельств,
найденных ошибок, выявленных трудностей;
 оценивать соответствие результата деятельности поставлен- ной цели и
условиям, объяснять причины достижения или недостижения цели,
находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту

предметные:
4

формирование представлений о математике как о методе познания действительности, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления:
осознание роли математики в развитии России и мира;
возможность привести примеры из отечественной и всемирной истории математ ических
открытий и их авторов;

развитие умений работать с учебным математическим текстом (анализировать,
извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений:

оперирование понятиями: множество, элемент множества, подмножество, принадлежность, нахождение пересечения, объединения множества в простейших ситуац иях;

в устной и письменной речи, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический), обосновывать суждения;

владение базовым понятийным аппаратом: иметь представление о числе, овладение символьным языком алгебры, приемами тождественных преобразований выражений, решения уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств; умения
моделировать реальные ситуации на языке алгебры, исследовать построенные модели с
использованием аппарата алгебры, интерпретировать полученный результат; знание
элементарных функциональных зависимостей, формирование представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об
особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;

умение выполнять алгебраические преобразования рациональных выражений,
применять их для решения учебных математических задач и задач, возникающих в
смежных учебных предметах;

умение пользоваться математическими формулами и самостоятельно составлять
формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев и
эксперимента;

умение решать линейные и квадратные уравнения и неравенства, а также приводимые к ним уравнения, неравенства, системы; применять графические представления для
решения и исследования уравнений, неравенств, систем; применять полученные умения
для решения задач из математики, смежных предметов, практики;

овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, умение строить графики функций, описывать их свойства, использовать функц ионально-графические представления для описания и анализа математических задач и
реальных зависимостей;

овладение основными способами представления и анализа статистических данных;
умение решать задачи на нахождение частоты и вероятности случайных событий;

умение применять изученные понятия, результаты и методы при решении задач из
различных разделов курса, в том числе задач, не сводящихся к непосредственному пр именению известных алгоритмов.


7 класс
Измерения, приближения, оценка
Выпускник научится:

использовать в ходе решения задач элементарные представления, связанные с приближёнными значениями величин.
Выпускник получит возможность:
 понять, что числовые данные, которые используются для характеристики объектов окружающего мира, являются преимущественно приближёнными, что по записи
приближённых значений, содержащихся в информационных источниках, можно судить о
погрешности приближения;
 понять, что погрешность результата вычислений должна быть соизмерима с по5

грешностью исходных данных.
Элементы теории множеств и математической логики
Выпускник научится:
Оперировать на базовом уровне понятиями: множество, элемент множества, подмножество,
принадлежность;
задавать множества перечислением их элементов;
находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях;
приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний.
Выпускник получит возможность:
Оперировать1 понятиями: множество, характеристики множества, элемент множества,
пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность,
включение, равенство множеств;
изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера;
определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;
задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания;
оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, отрицание
высказываний, операции над высказываниями: и, или, не, условные высказывания
(импликации);
строить высказывания, отрицания высказываний.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
Выпускник получит возможность:
использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и
явлений, при решении задач других учебных предметов.
строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики;
использовать множества, операции с множествами, их графическое представление для
описания реальных процессов и явлений.
Числа
Выпускник научится:
Развивать представления о числе и числовых системах от натуральных до действительных
чисел; овладевать навыками устных, письменных, инструментальных вычислений:
Оперировать понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная
дробь, смешанное число, рациональное число;
использовать свойства чисел и законов арифметических операций с числами при
выполнении вычислений;
использование признаков делимости на 2, 3, 5, 9, 10 при выполнении вычислений и решении
задач;
выполнение округления чисел в соответствии с правилами;
распознавать рациональные числа;
сравнивать числа.
понимать особенности десятичной системы счисления;
владеть понятиями, связанными с делимостью натуральных чисел;
выражать числа в эквивалентных формах, выбирая наиболее подходящую в зависимости от конкретной ситуации;
сравнивать и упорядочивать рациональные числа;
выполнять вычисления с рациональными числами, сочетая устные и письменные приёмы вычислений, применять калькулятор;
использовать понятия и умения, связанные с пропорциональностью величин, процентами в ходе решения математических задач и задач из смежных предметов, выполнять несложные практические расчёты.
Здесь и далее – знать определение понятия, уметь пояснять его смысл, уметь использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, доказательств, решении задач.
1

6

Выпускник получит возможность:
Оперировать понятиями: множество натуральных чисел, множество целых чисел,
множество рациональных чисел, множество действительных чисел, геометрическая
интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;
понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;
выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов рациональных вычислений;
выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;
сравнивать рациональные числа;
представлять рациональное число в виде десятичной дроби
упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби;
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
оценивать результаты вычислений при решении практических задач;
выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;
составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных
предметов.
Выпускник получит возможность:
применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении
задач других учебных предметов;
выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том
числе приближенных вычислений;
составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и задач из
других учебных предметов;
записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных
систем измерения.
Тождественные преобразования
Выпускник научится:
Выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений,
содержащих степени с натуральным показателем;
выполнять несложные преобразования целых выражений: раскрывать скобки, приводить
подобные слагаемые;
использовать формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности,
разность квадратов) для упрощения вычислений значений выражений;
выполнять несложные преобразования дробно-линейных выражений.
владеть понятиями «тождество», «тождественное преобразование», решать задачи, содержащие буквенные данные; работать с формулами;
выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми показателями;
выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил
действий над многочленами и алгебраическими дробями;
выполнять разложение многочленов на множители.
Выпускник получит возможность:
Оперировать понятиями степени с натуральным показателем, степени с целым
отрицательным показателем;
выполнять преобразования целых выражений: действия с одночленами (сложение,
вычитание, умножение), действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение);
выполнять разложение многочленов на множители одним из способов: вынесение за скобку,
группировка, использование формул сокращенного умножения;
выделять квадрат суммы и разности одночленов;
раскладывать на множители квадратный трехчлен;
выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми отрицательными
показателями, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем
к записи в виде дроби;
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;
7

выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других учебных
предметов.
Уравнения
Выпускник научится:
Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение,
корень уравнения, решение уравнения;
проверять справедливость числовых равенств;
решать линейные уравнения и неравенства, уравнений и неравенств сводящихся к линейным, систем уравнений.
решать системы несложных линейных уравнений;
проверять, является ли данное число решением уравнения;
решать основные виды рациональных уравнений с одной переменной, системы двух
уравнений с двумя переменными;
понимать уравнение как важнейшую математическую модель для описания и из учения
разнообразных реальных ситуаций, решать текстовые задачи алгебраическим методом;
применять графические представления для исследования уравнений, исследования и
решения систем уравнений с двумя переменными.
Выпускник получит возможность:
Оперировать понятиями: уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, область
определения уравнения (системы уравнений);
решать линейные уравнения и уравнения, сводимые к линейным с помощью тождественных
преобразований;
решать дробно-линейные уравнения;
решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной;
решать линейные уравнения с параметрами;
решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;
решать несложные уравнения в целых числах.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
составлять и решать линейные уравнения при решении задач, возникающих в других
учебных предметах.
Выпускник получит возможность:
составлять и решать линейные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся, системы линейных
уравнений при решении задач других учебных предметов;
выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных
уравнений и систем линейных уравнений при решении задач других учебных предметов;
выбирать соответствующие уравнения или их системы для составления математической
модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;
уметь интерпретировать полученный при решении уравнения или системы результат в
контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.
Функции
Выпускник научится:
Овладеет системой функциональных понятий, разовьет умения использовать функционально-графические представления для решения различных математических задач, для описания
и анализа реальных зависимостей:
Понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические обозначения);
Находить значение функции по заданному значению аргумента; находить по графику значений функции
находить значение аргумента по заданному значению функции в несложных ситуациях;
определять положение точки по ее координатам, координаты точки по ее положению на
координатной плоскости;
строить график линейной функции;
Строить графики элементарных функций; исследовать свойства числовых функций на осно8

ве изучения поведения их графиков;
проверять, является ли данный график графиком заданной функции (линейной, прямой
пропорциональности);
определять приближенные значения координат точки пересечения графиков функций;
Выпускник получит возможность научиться:
Оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы
задания функции, аргумент и значение функции, область определения и множество
значений функции, нули функции,
строить графики линейной;
составлять уравнения прямой по заданным условиям: проходящей через две точки с
заданными координатами, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;
исследовать функцию по ее графику;
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
использовать свойства линейной функции и ее графика при решении задач из других
учебных предметов.
понимать функцию как важнейшую математическую модель для описания процессов и явлений окружающего мира, применять функциональный язык для описания и исследования зависимостей между физическими величинами.
Выпускник получит возможность научиться:
иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их
характеристикам;
Статистика и теория вероятностей
Выпускник научится:
Выпускник овладеет простейшими способами представления и анализа статистических данных.
сформирует представления о статистических закономерностях в реальном мире и о ра зличных способах их изучения; развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, описывать и анализировать массивы числ овых данных с помощью подходящих статистических характеристик
сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе реш ения
прикладной задачи, изучения реального явления;
Иметь представление о статистических характеристиках;
представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;
читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика;
определять основные статистические характеристики числовых наборов;
Выпускник получит возможность:
Оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее
арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки,
дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;
извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;
составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных;
оперировать понятиями: факториал числа, перестановки и сочетания, треугольник
Паскаля;
применять правило произведения при решении комбинаторных задач;
оперировать понятиями: случайный опыт, случайный выбор, испытание, элементарное
случайное событие (исход), операции над случайными событиями;
представлять информацию с помощью кругов Эйлера;
решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью
комбинаторики.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе решения
прикладной задачи, изучения реального явления;
Выпускник получит возможность научиться:
9

извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в
таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства и характеристики реальных
процессов и явлений;
определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам,
графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи
Текстовые задачи
Выпускник научится:
развивать умения применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач
практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при
необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при
практических расчетах:
распознавание верных и неверных высказываний;
оценивание результатов вычислений при решении практических задач;
выполнение сравнения чисел в реальных ситуациях;
использование числовых выражений при решении практических задач и задач из других
учебных предметов;
решение практических задач с применением простейших свойств фигур;
выполнение простейших построений и измерений на местности, необходимых в реальной
жизни;
Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;
строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой
даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;
осуществлять применение способа поиска решения задачи, в котором рассуждение строится
от условия к требованию или от требования к условию;
составлять план решения задачи;
выделять этапы решения задачи;
интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение
задачи;
знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки;
решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;
решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три
величины, выделять эти величины и отношения между ними;
находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное отношение двух
чисел, находить процентное снижение или процентное повышение величины;
решать логические задачи;
решать несложные логические задачи методом рассуждений.
Выпускник получит возможность научиться:
Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;
использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения
поисковой схемы и решения задач;
различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели
решения несложной задачи разные модели текста задачи;
знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от
условия к требованию);
моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;
выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;
уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода,
рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;
анализировать затруднения при решении задач;
выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи
из данной, в том числе обратные;
интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение
задачи;
10

анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и
изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при
решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных
направлениях;
исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке,
рассматривать разные системы отсчета;
решать разнообразные задачи «на части»,
решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;
осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на
работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;
владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;
решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя
разные способы;
решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя
блоками данных с помощью таблиц;
овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический,
алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по
сравнению с изученными ситуациях.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых в задаче величин (делать
прикидку).
Выпускник получит возможность научиться:
выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации,
отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые
ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации,
учитывать плотность вещества;
решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не
требуется точный вычислительный результат;
решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.
8 класс
Элементы теории множеств и математической логики
Оперировать на базовом уровне понятиями: множество, элемент множества, подмножество,
принадлежность;
задавать множества перечислением их элементов;
находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях;
оперировать на базовом уровне понятиями: определение, теорема, доказательство;
приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний.
Выпускник получит возможность научиться:
Оперировать2 понятиями: множество, характеристики множества, элемент множества,
пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность, включение,
равенство множеств;
изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера;
определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;
задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания;
оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, отрицание
высказываний, операции над высказываниями: и, или, не, условные высказывания
(импликации);
строить высказывания, отрицания высказываний.
Здесь и далее – знать определение понятия, уметь пояснять его смысл, уметь использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, доказательств, решении задач.
2

11

В повседневной жизни и при изучении других предметов:
использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и
явлений, при решении задач других учебных предметов.
Выпускник получит возможность научиться:
строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики;
использовать множества, операции с множествами, их графическое представление для
описания реальных процессов и явлений.
Числа
Оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная
дробь, десятичная дробь, смешанная дробь, рациональное число, иррациональное число,
арифметический квадратный корень;
использовать свойства чисел и правила действий при выполнении вычислений;
использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении
несложных задач;
выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами;
оценивать значение квадратного корня из положительного целого числа;
распознавать рациональные и иррациональные числа;
сравнивать числа.
Рациональные числа
Выпускник научится:
понимать особенности десятичной системы счисления;
владеть понятиями, связанными с делимостью натуральных чисел;
выражать числа в эквивалентных формах, выбирая наиболее подходящую в зависимости от конкретной ситуации;
сравнивать и упорядочивать рациональные числа;
выполнять вычисления с рациональными числами, сочетая устные и письменные приёмы вычислений, применять калькулятор;
использовать понятия и умения, связанные с пропорциональностью величин, процентами в ходе решения математических задач и задач из смежных предметов, выполнять несложные практические расчёты.
Выпускник получит возможность:
познакомиться с позиционными системами счисления с основаниями, отличными от 10;
углубить и развить представления о натуральных числах и свойствах делимости;
научиться использовать приёмы, рационализирующие вычисления, приобрести привычку
контролировать вычисления, выбирая подходящий для ситуации способ.
Действительные числа
Выпускник научится:
использовать начальные представления о множестве действительных чисел;
владеть понятием квадратного корня, применять его в вычислениях.
Выпускник получит возможность:
развить представление о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел; о роли вычислений в человеческой практике;
развить и углубить знания о десятичной записи действительных чисел (периодические и
непериодические дроби).
Оперировать понятиями: множество натуральных чисел, множество целых чисел,
множество рациональных чисел, иррациональное число, квадратный корень, множество
действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных,
действительных чисел;
понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;
выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов рациональных вычислений;
выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;
12

сравнивать рациональные и иррациональные числа;
представлять рациональное число в виде десятичной дроби
упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби;
находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач.
Измерения, приближения, оценка
Выпускник научится:
использовать в ходе решения задач элементарные представления, связанные с приближёнными значениями величин.
Выпускник получит возможность:
понять, что числовые данные, которые используются для характеристики объектов
окружающего мира, являются преимущественно приближёнными, что по записи приближённых значений, содержащихся в информационных источниках, можно судить о погрешности приближения;
понять, что погрешность результата вычислений должна быть соизмерима с погрешностью исходных данных.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
оценивать результаты вычислений при решении практических задач;
выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;
составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных
предметов.
Выпускник получит возможность:
применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении
задач других учебных предметов;
выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том
числе приближенных вычислений;
составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и задач из
других учебных предметов;
записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных
систем измерения.
Тождественные преобразования
Выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений,
содержащих степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным
показателем;
использовать формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности,
разность квадратов) для упрощения вычислений значений выражений;
выполнять несложные преобразования дробно-линейных выражений и выражений с
квадратными корнями.
Алгебраические выражения
Выпускник научится:
владеть понятиями «тождество», «тождественное преобразование», решать задачи, содержащие буквенные данные; работать с формулами;
выполнять несложные преобразования выражений для вычисления значений числовых
выражений, содержащих степени с целым отрицательным показателем и квадратные
корни;
выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил
действий над многочленами и алгебраическими дробями;
выполнять разложение многочленов на множители.
выполнение несложных преобразований целых, дробно рациональных выражений и выражений с квадратными корнями;
Выпускник получит возможность:
научиться выполнять многошаговые преобразования рациональных выражений, применяя широкий набор способов и приёмов;
13

применять тождественные преобразования для решения задач из различных разделов
курса (например, для нахождения наибольшего/наименьшего значения выражения).
Оперировать понятиями степени с целым отрицательным показателем;
раскладывать на множители квадратный трехчлен;
выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми отрицательными
показателями, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем
к записи в виде дроби;
выполнять преобразования дробно-рациональных выражений: сокращение дробей,
приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление
алгебраических дробей, возведение алгебраической дроби в натуральную и целую
отрицательную степень;
выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни;
выделять квадрат суммы или разности двучлена в выражениях, содержащих квадратные
корни;
выполнять преобразования выражений, содержащих модуль.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
понимать смысл записи числа в стандартном виде;
оперировать на базовом уровне понятием «стандартная запись числа».
Выпускник получит возможность:
выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;
выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других учебных
предметов.
Уравнения и неравенства
Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение,
корень уравнения, решение уравнения, числовое неравенство, неравенство, решение
неравенства;
проверять справедливость числовых равенств и неравенств;
решать линейные неравенства и несложные неравенства, сводящиеся к линейным;
решать системы несложных линейных уравнений, неравенств;
решение квадратных уравнений, уравнений, сводящихся к линейным или квадратным,
систем уравнений и неравенств, изображение решений неравенств и их систем на чи словой прямой;
проверять, является ли данное число решением уравнения (неравенства);
решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения;
изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой.
Уравнения
Выпускник научится:
решать основные виды рациональных уравнений с одной переменной, системы двух
уравнений с двумя переменными;
понимать уравнение как важнейшую математическую модель для описания и изучения
разнообразных реальных ситуаций, решать текстовые задачи алгебраическим методом;
применять графические представления для исследования уравнений, исследования и
решения систем уравнений с двумя переменными.
Выпускник получит возможность:
овладеть специальными приёмами решения уравнений и систем уравнений; уверенно применять аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики;
применять графические представления для исследования уравнений, систем уравнений, содержащих буквенные коэффициенты.
Неравенства
Выпускник научится:
14

понимать и применять терминологию и символику, связанные с отношением неравенства, свойства числовых неравенств;
решать линейные неравенства с одной переменной и их системы;
применять аппарат неравенств для решения задач из различных разделов курса.
Выпускник получит возможность научиться:
разнообразным приёмам доказательства неравенств; уверенно применять аппарат н еравенств для решения разнообразных математических задач и задач из смежных предметов, практики;
применять графические представления для исследования неравенству систем неравенств, содержащих буквенные коэффициенты.
Оперировать понятиями: неравенство, корень уравнения, решение неравенства,
равносильные уравнения, область определения уравнения (неравенства, системы уравнений
или неравенств);
решать квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным с помощью
тождественных преобразований;
решать дробно-линейные уравнения;
решать простейшие иррациональные уравнения вида f  x   a , f  x   g  x  ;
n
решать уравнения вида x  a ;
решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной;
использовать метод интервалов для решения целых и дробно-рациональных неравенств;
решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;
решать несложные квадратные уравнения с параметром;
решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;
решать несложные уравнения в целых числах.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
составлять и решать линейные уравнения при решении задач, возникающих в других
учебных предметах.
Выпускник получит возможность научиться:
составлять и решать квадратные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся, системы
уравнений, неравенств при решении задач других учебных предметов;
выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении квадратных
уравнений и систем уравнений и неравенств при решении задач других учебных предметов;
выбирать соответствующие уравнения, неравенства или их системы для составления
математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;
уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы
результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.

Функции
овладение системой функциональных понятий, развитие умения использовать функционально-графические представления для решения различных математических задач, для описания
и анализа реальных зависимостей:
построение графика квадратичной функций;
использование свойств квадратичной функций и ее графика при решении задач из других
учебных предметов;
Находить значение функции по заданному значению аргумента;
находить значение аргумента по заданному значению функции в несложных ситуациях;
определять положение точки по ее координатам, координаты точки по ее положению на
координатной плоскости;
по графику находить область определения, множество значений, наибольшее и наименьшее
значения функции;
15

проверять, является ли данный график графиком заданной функции (линейной,
квадратичной, обратной пропорциональности);
определять приближенные значения координат точки пересечения графиков функций;
Выпускник научится:
понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символич еские
обозначения);
строить графики элементарных функций; исследовать свойства числовых фун кций на
основе изучения поведения их графиков;
3)понимать функцию как важнейшую математическую модель для описания процессов и явлений окружающего мира, применять функциональный язык для описания и исследования
зависимостей между физическими величинами.
Выпускник получит возможность научиться:
проводить исследования, связанные с изучением свойств функций, в том числе с использованием компьютера; на основе графиков изученных функций строить более сложные
графики (кусочно-заданные, с «выколотыми» точками и т. п.);
использовать функциональные представления и свойства функций для решения математических задач из различных разделов курса.
Оперировать понятиями: область определения и множество значений функции, нули
функции, промежутки знакопостоянства, монотонность функции, четность/нечетность
функции;
строить графики линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности,
функции вида: y  a 

k
, y
xb

x

,y

3

x

,

y x

;

на примере квадратичной функции, использовать преобразования графика функции y=f(x)
для построения графиков функций y  af kx  b  c ;
составлять уравнения прямой по заданным условиям: проходящей через две точки с
заданными координатами, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;
исследовать функцию по ее графику;
находить множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности
квадратичной функции;
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств
(наибольшие и наименьшие значения, промежутки возрастания и убывания, области
положительных и отрицательных значений и т.п.);
Выпускник получит возможность научиться:
иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их
характеристикам;
использовать свойства и график квадратичной функции при решении задач из других
учебных предметов.
Статистика и теория вероятностей
овладение простейшими способами представления и анализа статистических данных;
формирование представлений о статистических закономерностях в реальном мире и о
различных способах их изучения;
развитие умений извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах,
графиках, описывать и анализировать массивы числовых данных с помощью подходящих
статистических характеристик;
формирование представления о статистических характеристиках, определение основных
статистических характеристик числовых наборов;
умение сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе
решения прикладной задачи, изучения реального явления;
Иметь представление о статистических характеристиках,
представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;
16

читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика;
определять основные статистические характеристики числовых наборов;
иметь представление о роли закона больших чисел в массовых явлениях.
Описательная статистика
Выпускник научится использовать простейшие способы представления и анализа ст атистических данных.
Выпускник получит возможность приобрести первоначальный опыт организации сбора
данных при проведении опроса общественного мненияу осуществлять их анализ, представлять результаты опроса в виде таблицы, диаграммы.
Оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее
арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки,
дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;
извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;
составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных;
оперировать понятиями: факториал числа, перестановки и сочетания, треугольник
Паскаля;
применять правило произведения при решении комбинаторных задач;
оперировать понятиями: случайный опыт, случайный выбор, испытание, элементарное
случайное событие (исход), классическое определение вероятности случайного события,
операции над случайными событиями;
представлять информацию с помощью кругов Эйлера;
решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью
комбинаторики.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
оценивать количество возможных вариантов методом перебора;
сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе решения
прикладной задачи, изучения реального явления;
Выпускник получит возможность:
извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в
таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства и характеристики реальных
процессов и явлений;
определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам,
графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;
Текстовые задачи
развивать умения применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач
практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при
необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при
практических расчетах:
распознавание верных и неверных высказываний;
оценивание результатов вычислений при решении практических задач;
выполнение сравнения чисел в реальных ситуациях;
использование числовых выражений при решении практических задач и задач из других
учебных предметов;
решение практических задач с применением простейших свойств фигур;
выполнение простейших построений и измерений на местности, необходимых в реальной
жизни;
Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;
строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой
даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;
осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к
требованию или от требования к условию;
составлять план решения задачи;
17

выделять этапы решения задачи;
интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение
задачи;
знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки;
решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;
решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три
величины, выделять эти величины и отношения между ними;
находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение или
процентное повышение величины;
решать несложные логические задачи методом рассуждений.
Выпускник получит возможность:
Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;
использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения
поисковой схемы и решения задач;
различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели
решения несложной задачи разные модели текста задачи;
знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от
условия к требованию);
моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;
выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;
уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода,
рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;
анализировать затруднения при решении задач;
выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи
из данной, в том числе обратные;
интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение
задачи;
анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и
изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при
решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных
направлениях;
исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке,
рассматривать разные системы отсчета;
решать разнообразные задачи «на части»,
решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;
осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на
работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;
владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;
решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя
разные способы;
решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя
блоками данных с помощью таблиц;
решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования
изученных методов и обосновывать решение;
решать несложные задачи по математической статистике;
овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический,
алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по
сравнению с изученными ситуациях.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых в задаче величин (делать
прикидку).
18

Выпускник получит возможность:
выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации,
отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые
ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации,
учитывать плотность вещества;
решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не
требуется точный вычислительный результат;
решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.
История математики
Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как
науки;
знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и всемирной
историей;
понимать роль математики в развитии России.
Методы математики
Выбирать подходящий изученный метод для решения изученных типов математических задач;
Приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и
произведениях искусства.
9 класс
Элементы теории множеств и математической логики
Оперировать на базовом уровне3 понятиями: множество, элемент множества, подмножество,
принадлежность;
задавать множества перечислением их элементов;
находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях;
приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний.
Выпускник получит возможность научиться:
Оперировать4 понятиями: множество, характеристики множества, элемент множества,
пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность, включение,
равенство множеств;
изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера;
определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;
задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания;
оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, отрицание
высказываний, операции над высказываниями: и, или, не, условные высказывания
(импликации);
строить высказывания, отрицания высказываний.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и
явлений, при решении задач других учебных предметов.
Числа
Оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная
дробь, десятичная дробь, смешанная дробь, рациональное число, арифметический
квадратный корень;
использовать свойства чисел и правила действий при выполнении вычислений;
использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении
несложных задач;
выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами;

Здесь и далее – знать определение понятия, уметь пояснять его смысл, уметь использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, доказательств, решении задач.
4

19

оценивать значение квадратного корня из положительного целого числа;
распознавать рациональные и иррациональные числа;
сравнивать числа.
Рациональные числа
Выпускник научится:
понимать особенности десятичной системы счисления;
владеть понятиями, связанными с делимостью натуральных чисел;
выражать числа в эквивалентных формах, выбирая наиболее подходящую в зависимости от конкретной ситуации;
сравнивать и упорядочивать рациональные числа;
выполнять вычисления с рациональными числами, сочетая устные и письменные приёмы вычислений, применять калькулятор;
использовать понятия и умения, связанные с пропорциональностью величин, процентами в ходе решения математических задач и задач из смежных предметов, выполнять несложные практические расчёты.
Выпускник получит возможность:
познакомиться с позиционными системами счисления с основаниями, отличными от 10;
углубить и развить представления о натуральных числах и свойствах делимости;
научиться использовать приёмы, рационализирующие вычисления, приобрести привычку
контролировать вычисления, выбирая подходящий для ситуации способ.
Действительные числа
Выпускник научится:
использовать начальные представления о множестве действительных чисел;
владеть понятием квадратного корня, применять его в вычислениях.
Выпускник получит возможность:
развить представление о числе и числовых системах от натуральных до действительных чисел; о роли вычислений в человеческой практике;
развить и углубить знания о десятичной записи действительных чисел (периодические и
непериодические дроби).
Оперировать понятиями: множество натуральных чисел, множество целых чисел,
множество рациональных чисел, иррациональное число, квадратный корень, множество
действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных,
действительных чисел;
понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;
выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов рациональных вычислений;
выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;
сравнивать рациональные и иррациональные числа;
представлять рациональное число в виде десятичной дроби
упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби;
находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач.
Измерения, приближения, оценка
Выпускник научится:
использовать в ходе решения задач элементарные представления, связанные с приближёнными значениями величин.
Выпускник получит возможность:
понять, что числовые данные, которые используются для характеристики объектов
окружающего мира, являются преимущественно приближёнными, что по записи приближённых значений, содержащихся в информационных источниках, можно судить о погрешности приближения;
понять, что погрешность результата вычислений должна быть соизмерима с погрешностью исходных данных.
20

В повседневной жизни и при изучении других предметов:
оценивать результаты вычислений при решении практических задач;
выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;
составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных
предметов.
Выпускник получит возможность:
применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении
задач других учебных предметов;
выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том
числе приближенных вычислений;
составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и задач из
других учебных предметов;
записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных
систем измерения.
Тождественные преобразования
Выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений,
содержащих степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным
показателем;
выполнять несложные преобразования целых выражений: раскрывать скобки, приводить
подобные слагаемые;
использовать формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности,
разность квадратов) для упрощения вычислений значений выражений;
выполнять несложные преобразования дробно-линейных выражений и выражений с
квадратными корнями.
Алгебраические выражения
Выпускник научится:
владеть понятиями «тождество», «тождественное преобразование», решать задачи, содержащие буквенные данные; работать с формулами;
выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми показателями и
квадратные корни;
выполнять тождественные преобразования рациональных выражений на основе правил
действий над многочленами и алгебраическими дробями;
выполнять разложение многочленов на множители.
выполнение несложных преобразований для вычисления значений числовых выражений, содержащих степени с целым отрицательным показателем;
выполнение несложных преобразований целых, дробно рациональных выражений и выражений с квадратными корнями;
Выпускник получит возможность:
научиться выполнять многошаговые преобразования рациональных выражений, применяя широкий набор способов и приёмов;
применять тождественные преобразования для решения задач из различных разделов
курса (например, для нахождения наибольшего/наименьшего значения выражения).
Оперировать понятиями степени с натуральным показателем, степени с целым
отрицательным показателем;
раскладывать на множители квадратный трехчлен;
выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми отрицательными
показателями, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем
к записи в виде дроби;
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
понимать смысл записи числа в стандартном виде;
оперировать на базовом уровне понятием «стандартная запись числа».
Выпускник получит возможность:
21

выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;
выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других уче бных предметов.
Уравнения и неравенства
Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение,
корень уравнения, решение уравнения, числовое неравенство, неравенство, решение
неравенства;
проверять справедливость числовых равенств и неравенств;
решать линейные неравенства и несложные неравенства, сводящиеся к линейным;
решать системы несложных линейных уравнений, неравенств;
проверять, является ли данное число решением уравнения (неравенства);
решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения;
изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой.
решение квадратных уравнений и неравенств, уравнений и неравенств, сводящихся к
линейным или квадратным, систем уравнений и неравенств, изображение решений н еравенств и их систем на числовой прямой.
Уравнения
Выпускник научится:
решать основные виды рациональных уравнений с одной переменной, системы двух
уравнений с двумя переменными;
понимать уравнение как важнейшую математическую модель для описания и из учения
разнообразных реальных ситуаций, решать текстовые задачи алгебраическим методом;
применять графические представления для исследования уравнений, исследования и
решения систем уравнений с двумя переменными.
Выпускник получит возможность:
овладеть специальными приёмами решения уравнений и систем уравнений; уверенно применять аппарат уравнений для решения разнообразных задач из математики, смежных предметов, практики;
применять графические представления для исследования уравнений, систем уравнений, содержащих буквенные коэффициенты.
Неравенства
Выпускник научится:
понимать и применять терминологию и символику, связанные с отношением неравенства, свойства числовых неравенств;
решать линейные неравенства с одной переменной и их системы; решать квадратные
неравенства с опорой на графические представления;
применять аппарат неравенств для решения задач из различных разделов курса.
Выпускник получит возможность научиться:
разнообразным приёмам доказательства неравенств; уверенно применять аппарат н еравенств для решения разнообразных математических задач и задач из смежных предметов, практики;
применять графические представления для исследования неравенству систем неравенств, содержащих буквенные коэффициенты.
Оперировать понятиями: уравнение, неравенство, корень уравнения, решение неравенства,
равносильные уравнения, область определения уравнения (неравенства, системы уравнений
или неравенств);
решать линейные уравнения и уравнения, сводимые к линейным с помощью тождественных
преобразований;
решать квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным с помощью
тождественных преобразований;
решать дробно-линейные уравнения;
22

решать простейшие иррациональные уравнения вида

f  x  a ,

f  x  g  x ;

n
решать уравнения вида x  a ;
решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной;
использовать метод интервалов для решения целых и дробно-рациональных неравенств;
решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;
решать несложные квадратные уравнения с параметром;
решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;
решать несложные уравнения в целых числах.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
составлять и решать линейные уравнения при решении задач, возникающих в других
учебных предметах.
Выпускник получит возможность научиться:
составлять и решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся,
системы линейных уравнений, неравенств при решении задач других учебных предметов;
выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных и
квадратных уравнений и систем линейных уравнений и неравенств при решении задач других
учебных предметов;
выбирать соответствующие уравнения, неравенства или их системы для составления
математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;
уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы
результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.
Функции
овладение системой функциональных понятий, развитие умения использовать функционально-графические представления для решения различных математических задач, для описания
и анализа реальных зависимостей:
использование свойств линейной и квадратичной функций и их графиков при решении задач
из других учебных предметов;
Находить значение функции по заданному значению аргумента;
находить значение аргумента по заданному значению функции в несложных ситуациях;
по графику находить значения функции, область определения, множество значений, нули
функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и
наименьшее значения функции;
строить график квадратичной функции;
проверять, является ли данный график графиком заданной функции (линейной,
квадратичной, обратной пропорциональности);
определять приближенные значения координат точки пересечения графиков функций;
Выпускник научится:
понимать и использовать функциональные понятия и язык (термины, символические
обозначения);
строить графики элементарных функций; исследовать свойства числовых фун кций на
основе изучения поведения их графиков;
понимать функцию как важнейшую математическую модель для описания процессов и явлений окружающего мира, применять функциональный язык для описания и исследования зависимостей между физическими величинами.
Выпускник получит возможность научиться:
проводить исследования, связанные с изучением свойств функций, в том числе с использованием компьютера; на основе графиков изученных функций строить более сложные
графики (кусочно-заданные, с «выколотыми» точками и т. п.);
использовать функциональные представления и свойства функций для решения математических задач из различных разделов курса.
Оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы
задания функции, аргумент и значение функции, область определения и множество
23

значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность функции,
четность/нечетность функции;
строить графики линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности,
функции вида: y  a 

k
, y
xb

x

,y

3

x

,

y x

;

на примере квадратичной функции, использовать преобразования графика функции y=f(x)
для построения графиков функций y  af kx  b  c ;
составлять уравнения прямой по заданным условиям: проходящей через две точки с
заданными координатами, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;
исследовать функцию по ее графику;
находить множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности
квадратичной функции;
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств
(наибольшие и наименьшие значения, промежутки возрастания и убывания, области
положительных и отрицательных значений и т.п.);
использовать свойства линейной функции и ее график при решении задач из других учебных
предметов.
Выпускник получит возможность научиться:
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их
характеристикам;
использовать свойства и график квадратичной функции при решении задач из других
учебных предметов.
Числовые последовательности
Выпускник научится:
оперировать на базовом уровне понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия,
геометрическая прогрессия;
решать задачи на прогрессии, в которых ответ может быть получен непосредственным
подсчетом без применения формул.
понимать и использовать язык последовательностей (термины, символические обозначения);
применять формулы, связанные с арифметической и геометрической прогрессиями, и
аппарат, сформированный при изучении других разделов курса, к решению задач, в том
числе с контекстом из реальной жизни.
Выпускник получит возможность научиться:
решать комбинированные задачи с применением формул п-го члена и суммы первых п
членов арифметической и геометрической прогрессий, применяя при этом аппарат
уравнений и неравенств;
понимать арифметическую и геометрическую прогрессии как функции натурального аргумента; связывать арифметическую прогрессию с линейным ростом, геометрическую
— с экспоненциальным ростом.
оперировать
понятиями:
последовательность,
арифметическая
прогрессия,
геометрическая прогрессия;
решать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.
Статистика и теория вероятностей
Иметь представление о статистических характеристиках, вероятности случайного события,
комбинаторных задачах;
решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора;
представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;
читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика;
определять основные статистические характеристики числовых наборов;
24

оценивать вероятность события в простейших случаях;
иметь представление о роли закона больших чисел в массовых явлениях.
Описательная статистика
Выпускник научится использовать простейшие способы представления и анализа статистических данных.
Выпускник получит возможность приобрести первоначальный опыт организации сбора
данных при проведении опроса общественного мненияу осуществлять их анализ, представлять результаты опроса в виде таблицы, диаграммы.
Случайные события и вероятность
формирование представления о вероятности случайного события
Выпускник научится находить относительную частоту и вероятность случайного события.
сформирует представлений о простейших вероятностных моделях;
разовьет умения использовать понимание вероятностных свойств окружающих явлений
при принятии решений
оценивание и вычисление вероятности события в простейших случаях;
наличие представления о роли закона больших чисел в массовых явлениях;
Выпускник получит возможность приобрести опыт проведения случайных экспериментов, в
том числе с помощью компьютерного моделирования, интерпретации их результатов.
Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;
использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения
поисковой схемы и решения задач;
различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели
решения несложной задачи разные модели текста задачи;
знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от
условия к требованию);
моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;
выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;
уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода,
рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;
анализировать затруднения при решении задач;
выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи
из данной, в том числе обратные;
интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение
задачи;
анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и
изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при
решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных
направлениях;
исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке,
рассматривать разные системы отсчета;
решать разнообразные задачи «на части»,
решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;
осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на
работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;
владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;
25

решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя
разные способы;
решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя
блоками данных с помощью таблиц;
решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования
изученных методов и обосновывать решение;
решать несложные задачи по математической статистике;
овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический,
алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по
сравнению с изученными ситуациях.
Комбинаторика
Выпускник научится решеню простейших комбинаторных задач;
решать комбинаторные задачи на нахождение числа объектов или комбинаций.
Выпускник получит возможность научиться некоторым специальным приёмам решения
комбинаторных задач.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
оценивать количество возможных вариантов методом перебора;
иметь представление о роли практически достоверных и маловероятных событий;
оценивать вероятность реальных событий и явлений в несложных ситуациях.
Выпускник получит возможность научиться:
выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации,
отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые
ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации,
учитывать плотность вещества;
решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не
требуется точный вычислительный результат;
решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.
Текстовые задачи
развивать умения применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач
практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при
необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при
практических расчетах:
распознавание верных и неверных высказываний;
оценивание результатов вычислений при решении практических задач;
выполнение сравнения чисел в реальных ситуациях;
использование числовых выражений при решении практических задач и задач из других
учебных предметов;
решение практических задач с применением простейших свойств фигур;
выполнение простейших построений и измерений на местности, необходимых в реальной
жизни;
Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;
строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой
даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;
осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к
требованию или от требования к условию;
составлять план решения задачи;
выделять этапы решения задачи;
интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение
задачи;
знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки;
решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;
решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три
величины, выделять эти величины и отношения между ними;
26

находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение или
процентное повышение величины;
решать несложные логические задачи методом рассуждений.
Выпускник получит возможность научиться:
Оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее
арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки,
дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;
извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;
составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных;
оперировать понятиями: факториал числа, перестановки и сочетания, треугольник
Паскаля;
применять правило произведения при решении комбинаторных задач;
оперировать понятиями: случайный опыт, случайный выбор, испытание, элементарное
случайное событие (исход), классическое определение вероятности случайного события,
операции над случайными событиями;
представлять информацию с помощью кругов Эйлера;
решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью
комбинаторики.
В повседневной жизни и при изучении других предметов:
выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых в задаче величин (делать
прикидку).
Выпускник получит возможность научиться:
извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в
таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства и характеристики реальных
процессов и явлений;
определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам,
графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;
оценивать вероятность реальных событий и явлений.
История математики
Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как
науки;
знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и всемирной
историей;
понимать роль математики в развитии России.
Методы математики
Выбирать подходящий изученный метод для решения изученных типов математических задач;
Приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и
произведениях искусства.
личностные:
сформированность ответственного отношения к учению, готовность и способности об учающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию, выбору дальнейшего образования на базе ориентировки в мире профессий и
профессиональных предпочтений, осознанному построению индивидуальной образовательной траектории с учётом устойчивых познавательных интересов;
сформированность целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики;
сформированность коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со
сверстниками, старшими и младшими, в образовательной, общественно полезной, уче бно-исследовательской, творческой и других видах деятельности;
умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и
контрпримеры;
27

представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, об этапах
её развития, о её значимости для развития цивилизации;
критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказыв ания,
отличать гипотезу от факта;
креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении алгебраических задач;
умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;
способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений,
рассуждений.
метапредметные:
умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей , осознанно
выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;
умение осуществлять контроль по результату и по способу действия на уровне прои звольного внимания и вносить необходимые коррективы;
умение адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, её объективную трудность и собственные возможности её решения;
осознанное владение логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, классификации на основе самостоятельного выбора оснований и
критериев, установления родо-видовых связей;
умение устанавливать причинно-следственные связи; строить логическое рассуждение,
умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и выводы;
умение создавать, применять и преобразовывать знаково- символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач;
умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем
и сверстниками: определять цели, распределение функций и ролей участников, взаимодействие и общие способы работы; умение работать в группе: находить общее реш ение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учёта и нтересов; слушать партнёра; формулировать, аргументировать и отстаивать своё мнение;
сформированность учебной и общепользовательской компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ-компетентности);
первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном
языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов;
умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;
умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения м атематических проблем, и представлять её в понятной форме; принимать решение в
условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;
умение понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, че ртежи, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;
умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их
проверки;
умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть разли чные стратегии решения задач;
понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;
умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения
учебных математических проблем;
умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера
II. Содержание учебного предмета, курса
Алгебра (306 часов)
28

Действительные числа(19ч.)
Рациональные числа.
Расширение множества натуральных чисел до множества целых, множества целых
чисел до множества рациональных. Рациональное число как отношение m/n, где m —
целое число, п — натуральное. Степень с целым показателем. Старинные системы записи чисел. Дроби в Вавилоне, Египте, Риме. Открытие десятичных дробей. Старинные
системы мер. Десятичные дроби и метрическая система мер. Появление отрицательн ых
чисел и нуля. Л. Магницкий. Л. Эйлер.
Действительные числа.
Квадратный корень из числа. Корень третьей степени. Запись корней с помощью степени с дробным показателем.
Понятие об иррациональном числе. Иррациональность числа и несоизмеримость стороны и диагонали квадрата. Десятичные приближения иррациональных чисел.
Множество действительных чисел; представление действительных чисел бесконечными
десятичными дробями. Сравнение действительных чисел. Множество, элемент множества. Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством.
Стандартные обозначения числовых множеств. Пустое множество и его обозн ачение.
Подмножество. Объединение и пересечение множеств, разность множеств. Иллюстрация отношений между множествами с помощью диаграмм Эйлера Венна.
История формирования понятия числа: натуральные числа, дроби, недостаточность р ациональных чисел для геометрических измерений, иррациональные числа.
Измерения, приближения, оценки. Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире. Выделение
множителя — степени десяти в записи числа. Приближённое значение величины, точность
приближения. Прикидка и оценка результатов вычислений.
Алгебраические выражения.(106ч.)
Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного
выражения. Допустимые значения переменных. Подстановка выражений вместо пер еменных. Преобразование буквенных выражений на основе свойств арифметических
действий. Равенство буквенных выражений. Тождество.
Степень с натуральным показателем и её свойства. Одночлены и многочлены. Степень многочлена. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Формула разности квадратов. Пр еобразование целого выражения в многочлен. Разложение многочленов на множители.
Многочлены с одной переменной. Корень многочлена. Квадратный трёхчлен; разло жение квадратного трёхчлена на множители.
Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей. Степень с целым показателем и её
свойства.
Рациональные выражения и их преобразования. Доказательство тождеств.
Квадратные корни. Свойства арифметических квадратных корней и их применение к
преобразованию числовых выражений и вычислениям. Зарождение алгебры в недрах
арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок если …,
то ..., в том и только в том случае, логические связки и, или.
Уравнения.(80ч.)
Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Свойства числовых равенств. Равносильность уравнений.
Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения.
Теорема Виета. Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным. Примеры
решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Решение дробно-рациональных
уравнений.
Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными, примеры
29

решения уравнений в целых числах.
Система уравнений с двумя переменными. Равносильность систем. Системы двух линейных
уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и сложением. Примеры решения
систем нелинейных уравнений с двумя переменными.
Решение текстовых задач алгебраическим способом.
Декартовы координаты на плоскости. Графическая интерпретация уравнения с двумя
переменными. График линейного уравнения с двумя переменными; угловой коэффиц иент прямой; условие параллельности прямых. Графики простейших нелинейных уравнений: парабола, гипербола, окружность. Графическая интерпретация систем ура внений
с двумя переменными. Изобретение метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Р. Декарт и П. Ферма. Примеры различных систем координат на плоскости.
История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений, неразрешимость в радикалах уравнений степени, большей четырёх. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н.
X. Абель, Э. Галуа.
Неравенства.(36ч.)
Числовые неравенства и их свойства.
Неравенство с одной переменной. Равносильность неравенств. Линейные неравенства с одной переменной. Квадратные неравенства. Системы неравенств с одной переменной
Функции (26ч.)
Основные понятия. Зависимости между величинами. Понятие функции. Область
определения и множество значений функции. Способы задания функции. График фун кции. Свойства функций, их отображение на графике. Примеры графиков зависимостей,
отражающих реальные процессы.
Числовые функции. Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики и свойства. Линейная функция, её график и свойства. Квадратичная
функция, её график и свойства. Степенные функции с натуральными показателями 2 и 3, их
графики и свойства. Графики функций
.
Числовые последовательности.(17ч.)
Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной
формулой и формулой п-го члена.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п-го члена арифметической
и геометрической прогрессий, суммы первых п-х членов. Изображение членов арифметической и геометрической прогрессий точками координатной плоскости. Линейный и
экспоненциальный рост. Сложные проценты. Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи)
о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске.
Вероятность и статистика (22ч)
Описательная статистика. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.
Случайная изменчивость. Статистические характеристики набора данных: среднее
арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах. Представление
о выборочном исследовании.
Случайные события и вероятность. Понятие о случайном опыте и случайном событии.
Частота случайного события.
Статистический подход к понятию вероятности. Вероятности противоположных событий.
Независимые события. Умножение вероятностей. Достоверные и невозможные события.
Равновоз- можность событий. Классическое определение вероятности. Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма и Б. Паскаль. Я. Бернулли. А. Н. Колмогоров.
Комбинаторика. Решение комбинаторных задач перебором вариантов. Комбинаторное
правило умножения. Перестановки и факториал.
30

Формы контроля:

7 класс 10 ч.
Контрольная работа №1

8 класс 10 ч.
Контрольная работа №1

9 класс 9 ч.
Контрольная работа №1

Контрольная работа №2

Контрольная работа №2

Контрольная работа №2

Контрольная работа №3

Контрольная работа №3

Контрольная работа №3

Контрольная работа №4

Контрольная работа №4

Контрольная работа №4

Контрольная работа №5

Контрольная работа №5

Контрольная работа №5

Контрольная работа №6

Контрольная работа №6

Контрольная работа №6

Контрольная работа №7

Контрольная работа №7

Контрольная работа №7

Контрольная работа №8

Контрольная работа №8

Контрольная работа №8

Контрольная работа №9

Контрольная работа №9

Итоговая контрольная работа

Итоговая контрольная работа

Итоговая контрольная работа

Направления проектной деятельности обучающихся:
7 класс
8 класс
9 класс
История формирования поИррациональные числа.
Задача Леонардо Пинятия числа: натуральные чисИстория вопроса о
занского (Фибоначчи) о
ла, дроби. Недостаточность
нахождении формул коркроликах.
рациональных чисел для геоней алгебраических уравЧисла Фибоначчи.
метрических измерений.
нений. Неразрешимость в
Задача о шахматной
радикалах уравнений стедоске.
Старинные системы записи пени, большей четырёх.
Истоки теории вечисел.
Н. Тарталья.
роятностей: страховое деДроби в Вавилоне, Египте,
Дж. Кардано.
ло, азартные игры.
Риме.
Н. X. Абель.
П. Ферма.
Открытие десятичных дроЭ. Галуа.
Б. Паскаль.
бей.
Изобретение метода коЯ. Бернулли.
Старинные системы мер.
ординат, позволяющего
А. Н. Колмогоров.
Десятичные дроби и метри- переводить геометрические
ческая система мер.
объекты на язык алгебры.
Появление отрицательных
Р. Декарт.
чисел и нуля.
П. Ферма.
Л. Магницкий.
Примеры различных сиЛ. Эйлер.
стем координат на плоскоЗарождение алгебры в
сти.
недрах арифметики.
Ал-Хорезми.
Рождение буквенной символики.
П. Ферма.
31

Ф. Виет.
Р. Декарт.

III. Тематическое планирование АЛГЕБРА 7 - 9 классы (306 часов)

32

7 класс:
Раздел

Кол-во
часов

22
Алгебраические выражения

Темы

Кол-во
часов

Основные виды деятельности обучающихся (на уровне
учебных действий)

Выражения, тождества, уравнения

22

Выражения
Преобразование выражений
Контрольная работа №1

5
4
1

Уравнения с одной переменной

7

Статистические характеристики
Контрольная работа №2

4
1

Находить значения числовых выражений, а
также выражений с переменными при указанных значениях переменных. Использовать знаки >, <, ≥,≤,читать и составлять двойные неравенства. Выполнять простейшие преобразования выражений: приводить подобные слагаемые, раскрывать скобки в сумме или разности
выражений.
Решать уравнения вида ах = b при различных
значениях а и b, а также несложные уравнения,
сводящиеся к ним.
Использовать аппарат уравнений для решения
текстовых задач, интерпретировать результат.
Использовать простейшие статистические характеристики (среднее арифметическое, размах,
мода, медиана) для анализа ряда данных в несложных ситуациях

Функции

11

Уравнение

Вероятность и
статистика
Функции

11

33

Вычислять значения функции, заданной

Основные
направления
воспитательной
деятельности
1,4,6

2,7,8

11
Алгебраические выражения

Алгебраические

17

Функции и их графики
Линейная функция
Контрольная работа №3

5
5
1

Степень с натуральным показателем

11

Степень и ее свойства
Одночлены
Контрольная работа №4

5
5
1

Многочлены

17

34

формулой, составлять таблицы значений
функции. По графику функции находить
значение функции по известному значению
аргумента и решать обратную задачу. Строить графики прямой пропорциональности и
линейной функции, описывать свойства
этих функций. Понимать, как влияет знак
коэффициента k на расположение в координатной плоскости графика
функции у = kx, где k ≠ 0, как зависит от
значений k и b взаимное расположение графиков двух функций вида у = kx + b. Интерпретировать графики реальных зависимостей, описываемых формулами вида у = kx,
где k ≠ 0 и у = kx + b
Вычислять значения выражений вида аn,
где а — произвольное число, n — натуральное число, устно и письменно, а также
с помощью калькулятора. Формулировать,
записывать в символической форме и
обосновывать свойства степени с натуральным показателем. Применять свойства
степени для преобразования выражений.
Выполнять умножение одночленов и возведение одночленов в степень. Строить
графики функций у = х2 и у = x3. Решать
графически уравнения х2 = kx + b, x3 = kx
+ b, где k и b — некоторые числа
Записывать многочлен в стандартном виде,
определять степень многочлена. Выполнять

3,5,6

1,2,4

выражения

Алгебраические
выражения

Уравнение

19

16

Сумма и разность многочленов
Произведение одночлена и многочлена
Контрольная работа №5
Произведение многочленов
Контрольная работа №6

3
6
1
6
1

Формулы сокращенного умножения

19

Квадрат суммы и квадрат разности
Разность квадратов. Сумма и разность кубов.
Контрольная работа №7
Преобразование целых выражений
Контрольная работа №8

5
6
1
6
1

сложение и вычитание многочленов, умножение одночлена на многочлен и многочлена
на многочлен. Выполнять разложение многочленов на множители, используя вынесение множителя за скобки и способ группировки. Применять действия с много- членами
при решении разнообразных задач, в частности при решении текстовых задач с помощью
уравнений
Доказывать справедливость формул сокращённого умножения, применять их в преобразованиях целых выражений в многочлены, а
также для разложения многочленов на множители. Использовать различные преобразования целых выражений при решении уравнений, доказательстве тождеств, в задачах на
делимость, в вычислении значений некоторых
выражений с помощью калькулятора

Системы линейных уравнений

16

Определять, является ли пара чисел решенем

35

5,6,8

2,5,7

6
Алгебраические
выражения
Уравнение

Линейные уравнения с двумя переменными и
их системы
Решение систем линейных уравнений
Контрольная работа №9

5

Повторение

6

Повторение

3

Итоговый зачет
Итоговая контрольная работа

1
2

Итого

102

36

10
1

данного уравнения с двумя переменными.
Находить путём перебора целые решения
линейного уравнения с двумя переменными. Строить график уравнения ах + by = с,
где а ≠ 0 или b ≠ 0. Решать графическим
способом системы линейных уравнений с
двумя переменными. Применять способ подстановки и способ сложения при решении систем линейных уравнений с двумя переменными. Решать текстовые задачи, используя в
качестве алгебраической модели систему
уравнений. Интерпретировать результат, полученный при решении системы
1,4,7

8 класс
Разделы

Кол-во
часов

Темы

Кол-во

Основные виды деятельности обучающихся(на уровне учебных действий)

часов

23

Алгебраические выражения

Рациональные дроби

23

Рациональные дроби и их свойства
Сумма и разность дробей
Контрольная работа №1

5
6
1

Произведение и частное дробей
Контрольная работа №2

10
1

Формулировать основное свойство рациональной дроби и применять его для преобразования дробей. Выполнять сложение,
вычитание, умножение и деление рациональных дробей, а также возведение дроби
в степень. Выполнять различные преобразования рациональных выражений, доказывать тождества. Знать свойства функции y
= k/х , где k ≠ 0, и уметь строить её гра-

Основные
направления
воспитательной
деятельности
1,3,6

фик. Использовать компьютер для исследования положения графика в координатной
плоскости в зависимости от k

19

Квадратные корни

19

37

Приводить примеры рациональных и иррациональных чисел. Находить значения

2,4,7

Действительные числа

21

Уравнение

20

Действительные числа
Арифметический квадратный корень
Свойства арифметического квадратного корня
Контрольная работа №3

2
5

Применение свойств арифметического
квадратного корня
Контрольная работа №4

7

Квадратные уравнения

3
1

1

21

Квадратное уравнение и его корни
Контрольная работа №5

10
1

Дробные рациональные уравнения
Контрольная работа №6

9
1

Неравенства

20

38

арифметических квадратных корней, используя при необходимости калькулятор.
Доказывать теоремы о корне из произведения и дроби, тождество a2 = a , применять их в преобразованиях выражений.
Освобождаться от иррациональности в
знаменателях дробей вида a /b , a / b ± c
Выносить множитель за знак корня и вносить множитель под знак корня. Использовать квадратные корни для выражения переменных из геометрических и физических формул. Строить график функции y =
x и иллюстрировать на графике её свойства
Решать квадратные уравнения. Находить подбором корни квадратного уравнения, используя теорему Виета. Исследовать квадратные
уравнения по дискриминанту и коэффициентам. Решать дробные рациональные уравнения, сводя решение таких уравнений к решению линейных и квадратных урав- нений с
последующим исключением посторонних
корней. Решать текстовые задачи, используя
квадратные и дробные уравнения
Формулировать и доказывать свойства чис-

3,5,8

1,4,7

Неравенства

11
Алгебраические выражения

Вероятность и
статистика

Алгебраические выражения

8

Числовые неравенства и их свойства
Контрольная работа №7

8
1

Неравенства с одной переменной и их
системы
Контрольная работа №8

10

Степень с целым показателем. Элементы
статистики

1

11

Степень с целым показателем и ее
свойства
Контрольная работа №9

6

Элементы статистики

4

Повторение

1

8

Повторение
2
Повторение

3

Уравнение
39

ловых неравенств. Использовать аппарат
неравенств для оценки погрешности и точности приближения.
Находить пересечение и объединение
множеств, в частности числовых промежутков.
Решать линейные неравенства. Решать системы линейных неравенств, в том числе таких, которые записаны в виде двойных неравенств
Знать определение и свойства степени с целым показателем. Применять свойства степени с целым показателем при выполнении
вычислений и преобразовании выражений.
Использовать запись чисел в стандартном
виде для выражения и сопоставления размеров объектов, длительности процессов в
окружающем мире.
Приводить примеры репрезентативной и нерепрезентативной выборки. Извлекать информацию из таблиц частот и организовывать информацию в виде таблиц частот,
строить интервальный ряд. Использовать
наглядное представление статистической
информации в виде столбчатых и круговых
диаграмм, полигонов, гистограмм

2,5,8

1,5,7

Итоговый зачет
Итоговая контрольная работа
Итого

Неравенства

9 класс
Разделы

1
2
102

Кол-во Темы
часов

Кол-во

Основные виды деятельности обучающихся
(на уровне учебных действий)

часов

Квадратичная функция

22

Функция

Функции и их свойства.

5

Алгебраические выражения

Квадратный трехчлен.
Контрольная работа №1

4
1

Квадратичная функция и ее график.
Степенная функция.

8
1

Корень п-й степени.
Контрольная работа №2

2
1

22

Функции

Алгебраические выражения

40

Вычислять значения функции, заданной
формулой, а также двумя и тремя формулами. Описывать свойства функций на основе их графического представления. Интерпретировать графики реальных зависимостей. Показывать схематически положение на координатной плоскости графиков
функций у = ах2, у = ах2 + n, y = а (x − m)2.
Строить график функции
y = ax2 + bx + c, уметь указывать координаты
вершины параболы, её ось симметрии,
направление ветвей параболы.
Изображать схематически график функции
y = xn
с чётным и нечётным n. Понимать смысл записей вида 3 a, 4 a и т. д., где а — некоторое
число. Иметь представление о нахождении
корней n-й степени с помощью калькулятора

Основные
направления
воспитательной деятельности
1,3,5

14

Уравнения и неравенства с одной переменной

Уравнения с одной переменной.

Уравнение

14

8

Неравенство
Неравенства с одной переменной.
Контрольная работа №3
17

Уравнение

Неравенство

15

Уравнения и неравенства с двумя переменными

5
1
17

Уравнения с двумя переменными и их
системы

12

Неравенства с двумя переменными и
их системы
Контрольная работа №4

4

Арифметическая и геометрическая прогрессии

41

1

15

Решать уравнения третьей и четвёртой сте- 2,4,8
пени с помощью разложения на множители и
введения вспомогательных переменных, в
частности решать биквадратные уравнения.
Решать дробные рациональные уравнения,
сводя их к целым уравнениям с последующей
проверкой корней. Решать неравенства второй степени, используя графические представления. Использовать метод интервалов
для решения несложных рациональных неравенств
Строить графики уравнений с двумя переменными в простейших случаях, когда
графиком является прямая, парабола, гипербола, окружность. Использовать их для
графического решения систем уравнений с
двумя переменными.
Решать способом подстановки системы
двух уравнений с двумя переменными, в
которых одно уравнение первой степени, а
другое — второй степени.
Решать текстовые задачи, используя в качестве алгебраической модели систему уравнений второй степени с двумя переменными;
решать составленную систему, интерпретировать результат
Применять индексные обозначения для

3,6,8

2,4,6

Числовые
последовательности.

Вероятность и 13
статистика

Функции
Алгебраические выраже-

21

Арифметическая прогрессия
Контрольная работа №5

7
1

Геометрическая прогрессия
Контрольная работа №6

6
1

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

13

Элементы комбинаторики
Начальные сведения из теории
вероятностей
Контрольная работа №7

9
3

Повторение

21

Повторение
Повторение

1
6

1

42

членов последовательностей. Приводить
примеры задания последовательностей
формулой n-го члена и рекуррентной формулой.
Выводить формулы n-го члена арифметической прогрессии и геометрической прогрессии, суммы первых n членов арифметической и геометри- ческой прогрессий, решать
задачи с использованием этих формул. Доказывать характеристическое свойство арифметической и геометрической прогрессий. Решать задачи на сложные проценты, используя при необходимости калькулятор
Выполнить перебор всех возможных вариантов для пересчёта объектов и комбинаций. Применять правило комбинаторного
умножения.
Распознавать задачи на вычисление числа
перестановок, размещений, сочетаний и
применять соответствующие формулы.
Вычислять частоту случайного события.
Оценивать вероятность случайного события
с помощью частоты, установленной опытным
путём. Находить вероятность случайного события на основе классического определения
вероятности. Приводить примеры достоверных и невозможных событий

1,3,7

1,4,6

ния
Уравнение

Повторение

10

Неравенство

Повторение

2

Повторение.
Итоговая контрольная работа

1
1

Числовые
последовательности.

102

СОГЛАСОВАНО
Протокол заседания кафедры
учителей естественно научного
цикла
от __30 августа__2021 г. № 1
_________ Е.В. Медведева

СОГЛАСОВАНО
Заместитель директора по УВР
__________ Ю.А. Петрикина
30 августа 2021 г.

43